¿De qué color es el oso?

¿Cómo saber el color de un oso a partir de datos matemáticos?

George Polya - math.info

"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo."

Así comienza uno de los libros más influyentes de Matemáticas: "Cómo plantear y resolver problemas", publicado en 1945 en la Universidad de Princeton por el matemático húngaro George Polya (1887-1985).

Siguiendo las recomendaciones de Polya, comenzaremos con un reto de los clásicos para reactivar la mente después del verano.

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Partiendo de un punto P, un oso camina un kilómetro al sur. Cambia entonces de dirección y recorre un kilómetro al este. Después, girando de nuevo a la izquierda, recorre un kilómetro hacia el norte para llegar exactamente al punto de partida P. ¿De qué color es el oso?

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Sugerencias

¿Cuál es la incógnita? El color del oso. Pero, ¿como se puede encontrar el color de un oso a partir de datos matemáticos? ¿Cuál es el dato? Una situación geométrica que parece contradictoria a sí misma: después de recorrer tres kilómetros de la manera descrita, ¿cómo puede el oso regresar al punto de partida?

Hay que dar por supuesto que la pregunta está idealizada y considerar la Tierra como exactamente esférica y al oso como un punto material móvil. Dicho punto describirá un arco de meridiano al desplazarse hacia el sur o hacia el norte, y un arco de paralelo al desplazarse hacia el este.

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Una solución

Hay que distinguir dos casos:

Vamos a considerar en primer lugar que el oso sale de un punto P caminando 1 km hacia el sur a través de un meridiano, camina 1 km hacia el este a través de un paralelo y retorna al punto de partida P caminando 1 km hacia el norte a través de un meridiano distinto al de salida.

El punto P es un punto de la Tierra en el que se juntan, al menos, dos meridianos. Los únicos puntos de la Tierra donde confluyen meridianos son el Polo Norte y el Polo Sur. El Polo Sur queda descartado porque el oso comenzó caminando hacia el Sur y en el Polo Sur ya no se puede ir más al sur.

El Polo Norte sí cumple las condiciones del problema y por tanto se trata de un oso polar y su color es blanco. ¡Ya tenemos una solución!

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Más soluciones

En segundo lugar vamos a considerar que el oso sale de un punto P caminando 1 km hacia el sur a través de un meridiano, camina 1 km hacia el este a través de un paralelo y retorna al punto de partida P caminando 1 km hacia el norte a través del mismo meridiano de salida.

Debemos tener en cuenta que todos los meridianos tienen la misma longitud, son circunferencias sobre la Tierra del mayor tamaño posible. Pero no sucede lo mismo con los paralelos. El Ecuador es el del mayor de todos (tiene la misma longitud que los meridianos), pero a medida que vamos considerando paralelos al Ecuador hacia el Norte o hacia el Sur, sus longitudes van disminuyendo hasta llegar a los polos donde desaparecen y su longitud se hace cero.

Si, por ejemplo, el oso al desplazarse hacia el este recorre un paralelo completo, volverá al punto de partida caminando 1 km hacia el norte a través del mismo meridiano de salida. En este caso, el punto P no es el Polo Norte sino un punto de un paralelo muy cercano al Polo Sur. ¡Ya tenemos una segunda solución! En realidad tenemos infinitas soluciones más: los puntos situados sobre un paralelo cercano al Polo Sur que está 1 km al norte de un paralelo que mide 1 km.

Enseguida nos daremos cuenta que si el oso al desplazarse hacia el este da 2 vueltas completas en un paralelo, también volverá al punto de partida caminando 1 km hacia el norte a través del mismo meridiano de salida. Y lo mismo si da 3, 4, 5, ... vueltas. Ya tenemos ¡infinitas! soluciones más: los puntos situados sobre paralelos que están 1 km al norte de un paralelo que mide 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... km. Todos ellos son puntos cercanos al Polo Sur.

Podríamos argumentar que en el Polo Sur no hay osos, ni en el Polo Norte pinguinos ;-) y descartar todas estas soluciones cercanas al Polo Sur.

Por cierto, ¿podrías justificar por qué no son solución los puntos cercanos al Polo Norte situados sobre paralelos que están 1 km al norte de un paralelo que mide 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... km?

En cualquier caso no debemos olvidar que, como menciona Polya, con los datos iniciales no podemos demostrar que el oso es blanco.

Método de Pólya para resolver problemas matemáticos

Para resolver un problema se necesita:

Fase 1: Comprender el problema

• ¿Cuáles son las incógnitas?, ¿Cuáles son los datos?
• ¿Cuáles son las condiciones? ¿Son suficientes para determinar las incógnitas? ¿Insuficientes? ¿Redundantes? ¿Contradictorias? 

Fase 2: Concebir un plan

Encontrar la conexión entre los datos y las incógnitas. Es posible que tengas que tener en cuenta problemas auxiliares.

• ¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?
• ¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.
• Has encontrado un problema ya resuelto relacionado con el tuyo. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?
• ¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.
• Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considera solo una parte de las condiciones; descarta la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?
• ¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado todas las condiciones? ¿Has considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Fase 3: Ejecutar el plan

• Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos
• ¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?

Fase 4: Examinar la solución obtenida

• ¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes verificar el razonamiento?
• ¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema? 

Para saber más:

• Este reto es un clásico recogido y citado ampliamente bajo diferentes formulaciones.
• Ha sido utilizado frecuentemente en las entrevistas de selección de personal de Microsoft. Son numerosas las referencias sobre ello en internet.
• Polya también lo propone en "Cómo plantear y resolver problemas".
• En el sitio web del profesor Guillermo Verger de Universidad Nacional de Rosario, Argentina, puedes descargarte "Cómo plantear y resolver problemas" en su traducción al castellano.
• Y en el sitio web de la profesora Helga Ingimundardottir de la Universidad de Islandia (University of Iceland) en Reykjavik, ¡cerca del Polo Norte!, su versión original en inglés "How to solve It".
• El método de Polya fue adaptado por Simon Thompson para resolver problemas de programación en "How to program it".